世界上第一个证明π是无理数的方法

 新闻资讯     |      2020-01-08 20:12

本文给出一个高中生也能看懂的证明方法,由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在美容院加盟1761年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开,巧妙的反复运用倒数技巧得到了tan x的连分数表示,然后证明了这个连分数是一个无理数。据信,这个也世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂,即使从现在的观点来看,其思路也非常具有启发性。

无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数,大多用反证法,即假设它可以表示成两个整数的比,然后推导出矛盾,以此证明假设不成立。

这个等式显然不成立,因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数,得到了矛盾的结果,因此lg3是有理数的假设不成立。附一中有几个练习,请试试。

其中a0、a1、a2……,b0、b1、b2……为实数或复数。连分数常用来逼近无理数,这也是最早研究连分数的动机,想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用,它是数论及线性方程研究中的一个重要工具,与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。

连分数因大数学家欧拉而广为人知,欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

实际上,上图中的无限连分数等于,其分母是121212……无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数e是无理数,并且得到了e的无限连分数形式:

从第二个2开始,其分母是211、411、611、811、1011……。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事,熟悉欧拉对连分数的研究和成果,他因此冒出一个好主意:将tanx写成连分数形式。

表示 n 阶导数且(0 1)。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数,用麦克劳林公式在x=0处展开sinx,得到:

第二步,兰伯特证明了,当x是除0美容院加盟之外的有理数时,tanx是无理数。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是无理数。

第三步,因为tan(π/4)=1,1不是无理数,所以π/4不能写为分数形式,即不是有理数,从而证明π是无理数。

再反复使用分子加减分母法,这次因为分母是1/3,为消去红分数线上的常数1,给分子加3倍的分母再减去3倍的分母得到

可以通过对比tanx和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形(蓝色)与tanx的图形(棕色)对比,两个图形在0点重合。

取连分数的第二层时,图形更加接近,如上图。取越多的部分作图,就越逼近tanx的图形,证明这个连分数是正确的。

这个无限连分数,除了第一个分子是u,其它的分子都是u。分母则越来越大,也就是说,从某一处向后,分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。

根据u和v的不同,可能是55v或555v才比u大,这里不防设5v比u大2,那么从这一点向后,所有的分母都比分子至少大2。

如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数,那么整个连分数就是无理数。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于B/A,有B/A1,即AB。

由于数列中所有数都是正整数,而数列的大小是无限的,无论A有多大,始终都会在有限次递减后小于0,所以不存在这样的一个递减数列。

而1不是无理数,根据原命题与逆否命题具有相同的真假性(如果π/4=u/v,那么应该得到一个无理数而不是1),得到π/4不是有理数,所以π不是有理数。

5)文中推导tan x的连分数时,给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母,都是很大的无穷级数,它们应该不支持交换律和结合律,但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作?